汽油泵优化设计的数学模型

2014/2/15 9:03:33      点击:

汽油泵优化设计的数学模型通常包含设计变量、目标函数和约束条件三个基本要素。
1.汽油泵设计变量
在设计过程中,进行选择并最终必须确定的各项独立参数称为设计变量。设计变量的个数是优化问题的维数。如果有n个设计变量,则称为n维设计问题。
在一般情况下,若有n个设计变量,把第i(i=l,2,…,n)个设计变量记为xi,则全部设计变量可用n维向量的形式表示为
X=[xl,x2,…,xi,,…,xn]T 或X∈R”   (1)
这种以n个独立变量为坐标轴组成的n维向量空间是一个n维实数空间,用R”表示。如果其中两向量又有内积运算,则称为n维欧式空间,用E”表示。在优化中由各设计变量的坐标轴所描述的空间叫设计空间。
设计空间中的一个点就是一个设计方案优化的搜索过程,一般就是在相邻的设计点间作一系列定向的设计改变,即在点k到点k+l间移动。例如直接搜索法的典型搜索情况,由下式给出:
X(k+1)-X(k)+a(k)S(k) (2)
式中,向量S(k)决定搜索的方向,标量a(k)决定搜索的步长。
设计空间的维数又表征设计的自由度。设计变量越多,则设计的自由度越大,可供选择的方案越多,设计越灵活,但其难度也越大,求解过程也越复杂。
2.汽油泵约束条件
在设计中,为了保证机械的安全、实用、功能等,其设计变量和系统的状态变量等必须满足一定的条件,这种条件叫做约束条件。对设计变量的直接限制称为显约束。对设计变量的间接限制称为隐约束。
约束条件可用数学等式或不等式来表示。等式约束可能为显约束也可能为隐约束。其形式为
h(X)=0(i=1,2,…,m)  (3)
式中,X为设计变量,m为等式约束的数目。
不等式约束的形式为
gi(X)≤0(i=1,2,…,k)  (4)
式中,X为设计变量,k为不等式约束的数目。
3.汽油泵目标函数
一般来讲,存在着无穷多个满足约束条件的设计解,期望从中求出一个最好的设计解。这就需要预先设定某些标准,以便从可行域中最终选择出一个设计解。这些基准称为目标函数。目标函数是设计中预先要达到的目标,可表达为各设计变量的函数式:
f(X)=f(x1,x2,…,Xn) (5)
与约束条件相同,如果目标函数是设计变量而,X:,…,Xn的线性组合,则称为线性目标函数;其他则称为非线性目标函数。在优化问题中,可以只有一个目标函数,称为单目标函数,如式(5)所示。当在同一优化问题中药提出多个目标函数时,这种问题称为多目标函数的优化问题。
选取设计变量、列出目标函数、给出约束条件后,可构造优化的数学模型。如前面所述,任意一个优化问题均可归结为如下的描述,即
设计变量X=[x1,x2,…,xn]
约束R={X|gi(X)≤0,(i=1,2,…,k)} (6)
目标函数 min(或max)f(X)
在优化设计的数学模型中,若f(X)和gi(X)都是设计变量X的线性函数,则这种优化问题属于线性规划问题。若它们不全是X的线性函数,则属于非线性规划问题。数学规划方法的分类如表1所示。

表1汽油泵数学规划方法的分类

 数学规划方法  设计变量  等式约束 不等式约束   目标函数  说 明
 线性规划  线性函数  线性函数  线性函数  线性函数  线性函数
 非线性规划 非线性函数  非线性函数 非线性函数 非线性函数 非线性函数
 二次规划    线性规划  线性函数  二次函数  
 几何规划     广义多项式 广义多项式  
 动态规划        复杂系统  多阶段决策
 凸规划    构成凸集  构成凸集  凸函数  
 随机规划  随机性质        
 整数规划  有整数        
 0.1规划  0.1整数        
 离散规划  离散值        


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