三叶转子泵三种圆弧型转子的曲率半径及比较

2013/10/6 13:20:51      点击:

提出了圆弧型转子有三种不同类型的型线。对于圆弧及其包络线型转子,转子齿顶 圆半径 ! 与两转子中心距 " 的比值 ! # " 是一个很重要的参数。推导出该转子 曲率半径 的公式 以及该比值极值的明显表达式。计算 了这三种不 同的三叶圆弧型转子无堵塞转子泵 的流量并对它们 的性能进行了比较。

关键词

无堵塞转子泵 转子 型线 曲率

 

一、前言
的转子型线常用渐开线型和 圆弧型两种。与渐开线型转子相比,无堵塞转子泵的圆弧型转子有噪声低、效率高等优点。圆弧型转子又有三种不同类型的型线:第一种,外圆弧及其包络线型;第二种,内圆弧及其包络线型;第三种,内外圆弧加摆线型。根据 叶数 的不 同,转子有两 叶和三叶之分。与两叶无堵塞转子泵相比,三叶转子泵的流量波动率较小,因此噪声更低。文献介绍了第一种两 叶圆弧型转子 的型线设计。
文献介绍 了其他两种两叶圆弧型转子 的型线设计,并对 以上三种两 叶圆弧型转子无堵塞转子泵的性能进行了定性、粗略的比较,并认为在这三种两叶圆弧型转子无堵塞转子泵 中,采用第一种两 叶圆弧型转子是最佳方案。文献介绍了两 叶和三叶的第一种 圆弧型转子 的型线设计。文献则详细介绍了三种三叶圆弧型转子的型线设计。
在设计前两种转子时,转子顶 圆半径 r 与两 转子中心距 a 的比值 r / a 是一个很重要 的参数, 它决定了转子 的流量。这个 比值越大,转子越瘦高,流量就越大。但若这个 比值大于某一极值,则转子型线将 自我交叉,廓线出现根切。加工后,转子间就存在很大 的侧 隙。于是,流量和压力将迅速下降。这种情况应设法避免。文献曾提及该现象,但未给 出该 比值极值 的推导过程。文献针对第一种两叶转子,推导出求解该 比值极值的非线性超越方程,然后利用数值解法搜索 出第一种两叶转子 的该 比值极值。文献将法线 的瞬时旋转中心 当作型线 的 曲率 中心,推导 出两 叶和三叶的第一种圆弧型转子的型线 曲率半径。本文先利用数学上的曲率半径通用公式推导出圆弧型转子型线 曲率半径 的公式,然后利用求导方法求出最小曲率半径,最后用取最小 曲率半径为零的办法,推导出前两种三 叶转子该 比值极值 的明显表达式。文末还计算和 比较 了这三种三叶圆弧型转子的流量。计算结果表 明:与两 叶圆弧型转子无堵塞转子泵不 同,三叶圆弧型转子无堵塞转子泵的最佳转子型线不是第一种,而是第三种。

 

二、第一种三叶转子的 r / a 极值
文献[]推导出第一种三叶圆弧型转子(图 ) 的齿谷型线方程如下:
x = 2rcos - bcos2 - r cos
α α r α in a
β ρ
()
{y = 2rsin - bsin2 + r sin 1
α α in a in
r β ρ ρ
其中 角取值范围为 ,为齿峰外圆弧 中心 到转子中心的距离,为节 圆半径,为齿峰外圆弧半径,
β= bsin2α- rsinα/ rcosα- bcos2α
根据《高等数学》知,曲率半径通用公式为
2 2 3/ 2
〔( ) ( )〕
x' + y' ()
ρ= 2
x'y" - x"y'
式中, 分别为对参变量x' y' x" y" x y α的一次和二次求导。若 0,则表明曲线外凸;若ρ0,则表明曲线 内凹。
将式()对 求导,可得 和 代入 曲率半径通用公式()并经整理,可得该转子齿谷 曲率半径的公式如下:
ρ= 2 2 + rr 3 2 2
- r - 2b + 3brcosα = - 2 r - b + rr
图 2 是 r / a 0.3 时曲率半径 与 自变量 α之间的曲线图。由图 1 可 以看出,从 D1 点开始 向a 上,型线先是 内凹,经拐点后变为外 凸,即 曲率半径代数值是先为负值,在拐点处,曲率半径从负无 穷大变 为正无 穷大,后 为正值,如 图 2 所 示。在 α *处,曲率半径绝对值最小,记为 。若 r / a加大,则 变小,若 r / a 大于某一极值,则为负。转子型线 自我交叉, *附近 的型线如 图 3所示,曲线 CD 内凹,加工后 的实 际型线为 ABE ,廓线出现根切,两转子 间则存在很大的侧隙。因 此,流量和压力将迅速下降,这种情况应设法避免。

图 2
为避免这种现象发生,应求 出 r / a 的极值,即 0 时的 r / a 。

图 3
为了求 ,令 0,可解得:
cos α(α *)=b/r
将 cos α(α *)=b/r  代入式(3),得:

2 2 2 3/ 2
( )
2 r + b - 2b
in = 2 2 2 + rr
ρ
2 2 3/ 2 - r - 2b + 3b
( )
2 r + b - 2brcosα
令 = 0,可得 r / a 的极值,步骤如下:
min a ( )
ρ 4 r + b - 3 br
!
r =
r 2 2
2 2 2r + 4b - 3 3 br
2 !r - b = rr !
将文献[] 公式代入可得:
0.738


三、第二种三叶转子的 r/ a 极值 = 2r
文献[]推导出第二种三叶圆弧型转子(图4 )的齿峰型线方程如下:
x = 2rcosα- bcos2α+ r cos
r β
()
{y = 2rsinα- bsin2α+ r sin 4
r β
其中 角取值范围为 , 为齿谷内圆弧中心到转子中心的距离, 为节圆半径,rr 为齿谷内圆弧半径,
bsin2α- rsinα
()
β= bcos2α- rcosα
将式()对求导,可得和 ,代入曲率半径通用公式()并经整理,得 出该转子齿峰曲率半径的公式如下:
ρ ρ
2 2 3/ 2
( b )
4 r + - 2brcosα
r ()
= -
ρ r 2 2
2r + 4b - brcosα
由于该转子的齿峰齿型将与另一转子的内圆弧齿谷啮合,因此,该转子的齿峰齿型必须是全凸的,即齿峰曲率半径 0。可以证明:齿峰最小曲率半径 min发生在齿峰型线 的端点,即图 4 的 C点。令公式( )中可得点的曲率半径如下:
4 r + b - 3 br
!
C = rr -
ρ 2 2
2r + 4b - 3 3 br
令 = 0 可得 r / a 的最大值,步骤如下:

根据公式(5)和(6)可得,
ra rr + 2r - b
2 [ a ] = 2r
+ b/ r - 3 b/ r + b/ r m
= = 0 3034
r2 + b2 - 3 rb + 2r - b
b/ r - 3 b/ r + + 2 - b/ r
 = 0 324
α - 30 30 b
F O r
4 α x' y' x" y"

图 4

图 5为 r / a =0324 时 与 α的关系线图。
0,最小曲率半径 发生在齿峰型线的端点。

 

四、比较
当转子的尺寸确定后,可计算 出转子横截面积、壳体横截面积 以及转子与壳体间的空腔面积。
r / a 越大,则转子越瘦高、转子与壳体间的空腔面积就越大,流量也就越大。对于第三种转子,因内外圆弧的圆心都位于节 圆上,所 以,据文献可知,该 转 子 的 只 能 等 于 (0.5+sin15 )=0.7588。
为了合理地对这三种 圆弧型转子转子泵进行 比较,前两种转子泵 的 r / a 均取它们各自的最大值,并调整前两种转子泵 的中心距,使得这三种转子泵的壳体横截面积相等。表 1 列出了在此同等条件下各种三叶圆弧型转子转子泵 的有关数据 。

从表 1 中数据看 出,第三种三 叶转子转子泵的单块空腔面积最大。因此,在相 同的叶数、转子长度、壳体横截面积和转速情况下,第三种三叶转子转子泵 的流量最大。因此,对于三 叶圆弧型转子无堵塞转子泵,内外圆弧加摆线型才是最佳型线;而对于两叶圆弧型转子无堵塞转子泵,外 圆弧及其包络线型则是最佳型线 。


参考文献

 

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