联系我们   Contact
搜索   Search

抗堵凸轮废水泵叶轮转子的选择

2013/10/26 20:54:56      点击:
1 引
抗堵凸轮转子泵有两叶与三叶,直叶与扭叶之分。由于三叶抗堵凸轮转子泵的液量波动较两叶抗堵凸轮转子泵的小,因此噪声更低,现正逐步取代两叶抗堵凸轮转子泵 。因此,本章主要从转子端面型线及转子的形状(直扭之分)两方面介绍三叶抗堵凸轮废水泵转子的选型。

2 转子端面型线的数学模
抗堵凸轮废水泵叶轮转子的型线有多种,但较为通用的有渐开线型和圆弧型两种。
与渐开线型转子相比,抗堵凸轮转子泵的圆弧型转子有噪声低、效率高等优点 。圆弧型转子本身又有三种不同类型的型线 :第一种、外圆弧及其包络线型;第二种、内圆弧及其包络线型;第三种、内外圆弧加摆线型。下面将对这三种型线的数学模型做具体分析。
2.1 外圆弧及其包络线型
一对抗堵凸轮废水泵转子的相互啮合,相当于两个半径相同的节圆相切并且作纯滚动。在转子为外圆弧及其包络线型的抗堵凸轮转子泵中(图1 ),转子节圆以外的齿峰齿形(如转子1 的外圆弧A1B1C1 和转子2 的外圆弧C2D2E2 )为圆弧,而转子节圆以内的齿谷齿形(如转子1 的齿谷C1D1E1 )则为另一转子齿峰外圆弧(转子2 的外圆弧C2D2E2 )的包络线。
因为两个转子形状全等,且弧A1B1C1 与弧A2B2C2 共轭,弧C1D1E1 与弧C2D2E2共轭,点 A1 、B1 、C1 、D1 、E1 分别与点A2 、B2 、C2 、D2 、E2 共轭,所以:
∠A2O2B2 =∠B2O2C2 =∠C2O2D2 =∠D2O2E2 =∠A1O1B1 =∠B1O1C1 =∠C1O1D1=∠D1O1E1= 30
图1 外圆弧及其包络线型
设齿峰外圆弧中心F2 到转子中心O2 的距离为b ,齿峰外圆弧半径为rr ,节圆半径为r ,转子顶圆半径为ra ,中心距为a 。以r ,ra 为基本尺寸。于是,在O2C2F2中,
由余弦定理得:r2 +b2 -2rbcos30 =rr2 (F2D)2= (ra -b)2   (1)
由此可解得:b =(ra2-r2 ) /(2ra - 1.73r)   (2)
又因为:r r =ra-b (3)
根据a( =2r) 和ra ,可从上两式求出b 和rr 。
在转子1 上固结一坐标系X1 -Y 1。显然,转子1 齿峰外圆弧A1B1C1的方程为:(X -b cos 60 )2 +(Y -b sin 60 ) 2=(rr )2 。转子1 齿谷齿形C1D1E1 是转子2 齿峰外圆弧C2D2E2 的包络线。为了求出转子1 齿谷齿形C1D1E1 的方程,将转子1 顺时针同时转子2 逆时针转过任意角度α,然后将转子1、转子2 及机架三者固结,最后将整个机构绕点O1 逆时针转回α,则转子1 恢复原位,转子2 和机架O1O2 的位置如图2 所示。两节圆在P 点相切,两转子型线在G 点啮合。
图2 转过角度α的啮合示意图(类型1)
在图2 中,机架O1O2 倾斜角为α,转子2 的齿顶对称线O2F2 的倾斜角为2α,因为C2D2E2 为圆弧,所以过G 点的齿廓公法线必过转子2 齿峰外圆弧中心F2 。根据齿廓啮合基本定律,过接触点的公法线必过节点P ,所以G 、P 、F2 三点共线。延长O2F2 ,过O1 作GPF2 的平行线,两条线交于H 点,O1H 与O1 X1 轴成夹角β 。过点O2 作O1Y1 轴的平行线,交O1X1 轴于K 点。过点F2 作轴O1X1 的平行线,交O2K于点L 。过点H 作 O1X1 轴的平行线,交O2K 的延长线于点J ,作O1X1 轴的垂直线HI 。过点G 作O1Y1 轴的平行线,交F2L 的反向延长线于点M 。因为O2P= PO1= r ,所以O2F2= F2H= b ,在直角三角形O1HI 中,
tanβ= HI/O1I= (O2J -O2K )=/(O1K -HJ )= (2b sin 2α-2r sinα)/(2r cosα-2b cos 2α)  (4)
因为O1H // GPF2 ,所以∠GF2 M= β,于是G 点在坐标系X1O1Y1中的坐标(Xg ,Yg )为:
Xg= O1K-F2L -F2M= 2r cosα-b cos2α-rr cosβ   (5)
Yg= O2K-O2L+GM= 2rsinα=-bsin 2α+rr sin β (6)
式(4)~(6)就是以α为参变量的转子 1 齿谷齿形C1D1E1 坐标(Xg ,Yg ) 的参数方程。对应于齿谷齿形C1D1E1 ,α的取值范围为-30 ~30 。
2.2 内圆弧及其包络线型
如图3 所示,为一对内圆弧及其包络线型的抗堵凸轮废水泵转子的啮合图。转子节圆以内的齿谷齿形(如转子1 的内圆弧A1B1C1 和转子2 的内圆弧C2D2E2 )为内圆弧,而转子节圆以外的齿峰齿形(如转子1 的C1D1E1 )则为另一转子齿谷内圆弧(转子2 的内圆弧C2D2E2 )的包络线。
图3 内圆弧及其包络线型
由图可知:
∠A1O1F1 =∠F1O1C1 =∠C1O1D1 =∠A2O2B2 =∠B2O2C2 =∠C2O2F2= 30
设两转子的中心距为a ,节圆半径为r ,转子顶圆半径为ra ,齿谷内圆弧半径为rr ,内圆弧中心F2 到转子中心O 的距离为b 。以r 和ra 为基本尺寸。于是,在O2C2F2中,
由余弦定理得:r2 +b2 -2rbcos30= rr2 =(F2D2 )2 =(ra +b -2r)2 (7)
由此可解得:b= (ra2 +3r2 -4ra r) /(4r -2ra - 1.732r) (8)
又因为:r r =ra+b -2r (9)
根据a(= 2r) 和ra ,可从上两式求出b 和rr 。
在转子1 上固结一坐标系X1 -Y1 。显然,转子1 齿谷内圆弧A1B1C1 的方程为:(X -b cos 60 )2 +(Y -b sin 60 )2= (rr )2 。转子 1 齿峰C1D1E1 是转子 2 齿谷内圆弧C2D2E2 的包络线。为了求出转子1 齿峰齿形C1D1E1 的方程,将转子1 顺时针同时转子2 逆时针转过任意角度α,然后将转子1、转子2 及机架三者固结,最后将整个机构绕点O1 逆时针转回α,则转子1 恢复原位,转子2 和机架O1O2 的位置如图4 所示。两节圆在P 点相切,两转子型线在G 点啮合。
图4 转过角度α的啮合示意图(类型2 )
在图4 中,机架O1O2 倾斜角为α,转子2 的齿谷对称线O2F2 的倾斜角为2α,因为C2D2E2 为圆弧,所以过G 点的齿廓公法线必过转子2 齿谷内圆弧中心F2 。根据齿廓啮合基本定律,过接触点的公法线必过节点P ,所以G 、P 、F2 三点共线。延长O2F2 ,过O1 作GPF2 的平行线,两条线交于H 点,O1H 与X1O1 轴成夹角β 。过点O2 作O1Y1 轴的平行线,交O1X1 轴于K 点。过点F2 作轴O1X1 的平行线,交O2K的延长线于点L 。过点H 作O1X1 轴的平行线,交O2K 的延长线于点J ,作O1X1 轴的垂直线HI 。过点G 作O1Y1 轴的平行线,交F2L 于点M 。因为O2P= PO1= r ,所以O2F2= F2H= b ,在直角三角形O1HI 中,
tanβ= HI/O1I= (O2J -O2K )/(HJ -O1K )= (2b sin 2α-2r sinα)/(2b cos 2α-2r cosα) (10)
因为O1H // GPF2 ,所以∠GF2M= β ,于是G 点在坐标系X1O1Y1 中的坐标(Xg ,Yg ) 为:
Xg=O1K-F2L +F2M= 2r cosα-b cos2α+rr cosβ (11)
Yg=O2K-O2L+GM= 2rsinα-bsin 2α+rr sin β (12)
式(10)~(12)就是以α为参变量的转子 1 齿峰型线C1D1E1 坐标(Xg ,Yg ) 的参数方程。对应于齿峰齿形C1D1E1 ,α的取值范围为-30 ~30 。
2.3 内外圆弧加摆线型
图5 内外圆弧加摆线型
如图5 所示,为一对内外圆弧加摆线型的抗堵凸轮废水泵转子的啮合图。转子节圆以内的齿谷齿形(如转子1 的内圆弧A1B1C1 和转子2 的内圆弧H2D2J2 )为内圆弧,该内圆弧的圆心恰好在节圆圆周上,圆弧半径为r 。转子节圆以外的齿峰型线可分为三段,峰顶是圆心也在节圆圆周上,且半径和弧长与齿谷内圆弧一样的外圆弧,如转子1 的齿顶外圆弧H1D1J1 和转子2 的齿顶外圆弧A2B2C2 。这样,当齿谷和齿峰的对称线同时转到连心线O1O2 时,如图5 所示,一个转子的齿谷内圆弧(如转子2的齿内圆弧H2D2J2 )与另一个转子的齿顶外圆弧(转子1 的齿顶外圆弧H1D1J1 )正好在全长上完全重叠。
在峰顶外圆弧H1D1J1 与节圆之间的曲线为摆线(如转子 1 的摆线C1H1 和J1E1 ,以及转子2 的摆线C2H2 )。该摆线是当两节圆作纯滚动时,另一转子齿谷内圆弧的端点相对于本转子的相对轨迹。例如:转子1 上的摆线C1H1 就是当两节圆作纯滚动时,转子2 齿谷内圆弧H2D2J2 的端点H2 相对于转子1 的相对轨迹。
设中心距为a ,节圆半径为r ,齿谷圆弧半径为 rr。F2 为内圆弧的圆心。所以
∠B2O2H2 =∠H2O2F2 =∠D1O1C1 =∠C1O1B1= 30 。
在等腰三角形HO2F2 中,F2H= rr= 2r sin15 ,以及ra= r +rr  (13)
在转子1 上固结一坐标系X1 -Y1 。显然,转子1 齿谷内圆弧A1B1C1 的方程为:(X -r cos 60 )2 +(Y -r sin 60 )2= (rr )2 。转子 1 齿顶外圆弧H D J 的方程为:(X -r)2 +Y 2= (rr )2 ;
转子1 上的摆线C1H1 是当两节圆作纯滚动时,转子2 齿谷内圆弧的端点H2 相对于转子1 的相对轨迹。为了求出摆线C1H1 的方程,将转子1 顺时针同时转子2 逆时针转过任意角度α,然后将转子1、转子2 及机架三者固结,最后将整个机构绕点O1 逆时针转回α,则转子1 恢复原位,转子2 和机架O1O2 的位置如图6 所示。两节圆在P 点相切,转子2 齿谷内圆弧端点H2与转子1 摆线C1H1 上的某点接触。于是,由图6 可知,点H2 在转子1 的坐标系X1 -Y1 上的轨迹,即摆线型线C1H1 的参数方程,为:
X= 2r cosα+r cos(α+180 +α-30 )= 2r cosα-r cos(30 -2α)  (14)
Y=2r sinα+ r sin(α+ 180+α- 30 )= 2r sinα+r sin(30- 2α ) (15)
图6 转过角度α的啮合示意图(类型3)
式(14)~(15)就是以α为参变量的转子1 摆线C1H1 的参数方程。对应于摆线C1H1 ,α的取值范围为0 ~30 。对应于摆线E1J1 的参数方程,只要将式(15 )中的Y 值加个负号即可得到。

3 三种转子型线的径距比的选取
叶轮外径与两叶轮中心距之比,即ra/a ,简称径距比。
ra/a 是一个很重要的参数,它决定了转子的液量。这个比值越大,转子越瘦高,液量就越大。但若这个比值大于某一极值,则转子型线将自我交叉,轮廓线出现根切。加工后,转子间就存在很大的侧隙,于是,液量和液压将迅速下降。为避免这种现象发生,应选择适当的ra/a 值 。对于前面介绍的外圆弧及其包络线型转子和内圆弧及其包络线型转子,其ra/a 值可以由设计人员自行决定。
根据《高等数学》 知,曲率半径通用公式为:
ρ=((x2+y2)3/2)/(x'y'-x"y") (16)
式中:x' 、y' 、x" 、y" 分别为x 和y 对参变量的一次和二次求导。若ρ>0 ,则表明曲线外凸;若ρ<0 ,表明曲线内凹。
3.1 第一种转子的径距比的选择
对于外圆弧及其包络线型转子,将式(5)~式(6)对α求导,可得x' 、y'、'x'' 、和y '' 。代入曲率半径通用公式(16 )并经整理,可得该转子齿谷曲率半径的公式如下:
ρ =(2(r2 +b2 -2br cosα)3/2)/(-r2 - 2b2 + 3brcosα)+rr (17)
图7 所示是第一种转子ra/a =0.73 时齿谷曲率半径ρ与自变量α之间的曲线图。由图2可以看出,从D1 点开始向上,型线先是内凹,经拐点后变为外凸,即:曲率半径代数值是先为负值,在拐点处,曲率半径从负无穷大变为正无穷大,然后为正值。图 7 所示,在α* 处,曲率半径绝对值最小,记为ρmin 。若ra/a 加大,则ρmin变小。若ra/a 大于某一极值,则ρmin 为负,转子型线自我交叉,在 α* 附近的型线如图8 所示,曲线CD 内凹。加工后的实际型线为ABE ,于是轮廓出现根切,两转子间就存在很大的侧隙。于是,液量和液压将迅速下降。这种情况应设法避免。
图7 ρ,α关系图
图8 过切现象
为避免这种现象发生,应求出ra/a 的极值,即:ρmin=0 时的ra/a 。
为了求ρmin ,令dρ/dα= 0 ,即:
dρ/dα=((3(r2+b2 -2br cosα)1/2) b. r.sinα)/(-r2 -2b2 +3b.r .cosα) + ((3(r2+b2 -2br cosα)3/2) b. r.sinα)/(-r2 -2b2 +3b.r .cosα)2=0   (18)
由上式可得:cos(α*)=b/r ,代入式(17),可以得到:
ρmin= 2((r2+b2-2b2)3/2)/(-r2-wb2+3b2)+rr=-2(r2-b2)1/2+rr (19)
令ρmin =0,可以得到ra/a 的极值,步骤如下:
2(r2-b2)1/2=rr  (20)
代入公式(1)~(3)可得:
4(r2- b2 )= rr2=r2+ b2- 2br cos30
-5b2+1.73br+ 3r2= 0
b/r=1.73 + 8/10=0.9669
ra/a=(rr+b)/2r=((ra+rb-1.73br)1/2+b)/2r=0.7385
3.2 第二种转子
对于内圆弧及其包络线型转子,将式(11)~(12)对α求导,可得x' 、y'、x'' 和y '' 。代入曲率半径通用公式(16 )并经整理,可得该转子齿峰曲率半径的公式如下:
ρ= rr-(2(r2 +b2 -2br cosα)3/2)/(r2 +b2 -3br cosα) (21)
由于该转子的齿峰齿型将与另一转子的内圆弧齿谷啮合。因此,该转子的齿峰齿型必须是全凸的,齿峰曲率半径ρ应该始终大于等于零。可以证明齿峰最小曲率半径ρmin 发生在齿峰型线的端点,即:图3 的Ct 点。令公式(21)中α 30 可得Ct 点的曲率半径ρc1 如下:
ρ 1c1= rr-(4(r2 +b2 - 1.73br)3/2)/(2r2 +2b2 -3*1.73br) (22)
令ρc1 =0,可以得到ra/a 的极值,步骤如下:
rr=(4(r2+ b2-1.73br)3/2)/(2r2+ 2b2- 3*1.73br)2
根据公式(7)
b/r=1.155
根据公式(8)~(9)及上式可得:
(ra/a)max=0.711325
图9 所示为第二种转子ra/a =0.711325时,ρ与α的关系线图。ρ始终大于等于零,最小曲率半径ρmin 0 发生在齿峰型线的端点,即:α π/ 6 处。
图2-9 ρ与α的关系线图
3.3 第三种转子
对于内外圆弧加摆线型转子,因内外圆弧的圆心都位于节圆上,所以,根据公式(13)知,该转子的ra/a 应等于(0.5+sin15 ) =0.758819

4 转子端面型线的比较与选择
当转子的尺寸确定后,可以计算出其他相关的尺寸,如:转子横截面积、壳体横截面积以及转子与壳体间的空腔面积。ra/a 越大,则转子越瘦,转子与壳体间的空腔面积就越大,液量也就越大。为了合理的对这三种圆弧型转子转子泵进行比较,令前两种转子泵的ra/a均取他们各自的最大值,并调整前两种转子泵的中心距使得这三种转子泵的壳体横截面积相等。表1 列出了各种圆弧型转子转子泵的有关数据。
表1 各种圆弧型转子泵的比较

项目 第一种 
第二种 
第三种 
ra/a
 0.738505 
0.711325
0.758819
中心距
1.022537
1.054644
1
转子横截面积
0.889438
0.940848
 0.856195
壳体横截面积
3.20819 
3.20819
3.20819
转子与壳体间单块空腔面积
0.30072
 0.275738 
0.317585

从表中数据可以看出,第三种转子转子泵的单块空腔面积最大。因此,在相同的叶数、转子长度、壳体横截面积和转速的情况下,第三种转子转子泵的液量最大。

因此,对于三叶圆弧型转子抗堵凸轮转子泵,内外圆弧加摆线才是最佳型线 。因此,在本论文设计中,三叶扭叶转子的端面型线采用了内外圆弧加摆线的线型。

5 直叶转子和扭叶转子液压脉动的比较
在本文的第一章中提到,扭叶转子比直叶转子的排液流量脉动要小,因而能降低抗堵凸轮转子泵的运转噪声[23-25]。根据公式可以计算出直叶转子和扭叶转子的理论流量、进排液流量。我们将结果绘制成图[19],便于比较。
直叶转子理论流量与进液流量脉动曲线如图10 所示;直叶转子排液流量脉动曲线如图11 所示:
图10 直叶转子理论流量与进液流量脉动曲线图
图11 直叶转子排液流量脉动曲线图
扭叶转子理论流量与进液流量脉动曲线(图12)
图12 扭叶转子理论流量与进液流量脉动曲线图
扭叶转子排液流量脉动曲线(图13):
图13 扭叶转子排液流量脉动曲线图
根据上面所得到的直叶转子和扭叶转子的进排液流量曲线图,可以很清楚的看出扭叶转子的进排液脉动均比直叶转子的进排液流量脉动要小。这也就证明:采用扭叶转子的转子泵,其噪声要比采用直叶转子的转子泵的噪声要小得多。因此,本课题的一个主要的任务就是找出一种加工方法,实现这种扭叶转子的自动加工。

6 本章小结

本章从抗堵凸轮转子泵转子的端面型线及转子的形状两方面进行比较,确定抗堵凸轮转子泵转子的具体类型为:三叶扭叶型,端面型线为内外圆弧加摆线型。


////////////////////////////////////////////////////////////
力华转子泵网www.
电话:0575-83539901
传真:0575-83534469

友情链接:    五分彩网站   彩票登陆   彩票登陆   北斗彩票   彩票登陆代理